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📐 Theorem X.7.10（Tietze 拡張定理）／Corollary X.7.13

  • 📐 Theorem X.7.10（Tietze 拡張定理）／Corollary X.7.13 #Card
    • Tietze の拡張定理の主張と、証明の骨子（幾何級数による誤差縮小）、コンパクト版への言い換えは。

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Tietze 拡張定理: 正規位相空間の閉部分集合上の連続関数は、値域を保ったまま全空間へ連続に拡張できる。

証明の骨子（Lemma X.7.9 の反復）: $\sup_C|f|\leq c$ なら $h\in C$ で $\sup_X|h|\leq\tfrac13c,\ \sup_C|f-h|\leq\tfrac23c$ が作れる（Urysohn 補題を $C_0:={f\leq-\tfrac13c},C_1:={f\geq\tfrac13c}$ に適用）。これを繰り返し誤差を $(\tfrac23)^n$ で縮める級数 $h=\sum h_n$（cards/topology/functionally-closed-countable-intersection Lemma X.6.3 で一様収束・連続性を保証）を作ると $h\vert_C=f$。

Cor X.7.13（コンパクト版）: Hausdorff 関数的正則位相のコンパクト部分集合上の連続関数も同様に拡張可能（cards/topology/hausdorff-compact-regular-normal を経由し正規性を回復、Prop X.7.12 の分離定理を使用）。

Lean

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Urysohns.lemma 系の TietzeExtension。

本ノート RoyalRoad.ChapterX.thm_X_7_10（ContinuousMap.exists_restrict_eq、Notes/ChapterX.lean、lake build 済み）