Functionally initial topology（$\nu$-initial）（X.9）／📐 Theorem X.9.5
- Functionally initial topology（$\nu$-initial）（X.9）／📐 Theorem X.9.5 #Card
- 関数的始収束の定義と、関数的正則性との同値性（本章の核心定理）は。
$\xi$ が functionally initial（$\nu$-initial）:⟺ $\xi = R^\nu_\xi := \bigvee_{f\in C(\xi,\nu)} f^-\nu$（$C(\xi,\nu)$ に関する cards/topology/initial-convergence-family）。
常に $\xi\geq R^\nu_\xi$ かつ $R^\nu_\xi$ は位相（Lemma VII.3.7）。$R^\nu$ は $T$（topologizer）・$S_0$ と同型の3性質（単調・縮小・冪等）を満たす修正子。
Thm X.9.5（核心定理）: 位相が functionally initial ⟺ functionally regular（completely regular）。
証明: ($\Leftarrow$) cards/topology/functionally-regular-topology Prop X.7.5 の関数的開基底が Lemma X.9.4 の subbase と一致。($\Rightarrow$) Prop X.9.1（$x\in\lim_\xi\mathcal{F}$ を各 $f\in C$ での $f(x)\in\lim_\nu f[\mathcal{F}]$ に還元）と Cor VII.3.3 を組み合わせる。
「関数で分離できる」という一見応用的な性質が「連続関数だけで位相を復元できる」という構造的性質と完全に同値という、この章全体の到達点。