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Functionally regular（completely regular／Tikhonov）topology（Definition X.7.3）／📐 Proposition X.7.5

  • Functionally regular（completely regular／Tikhonov）topology（Definition X.7.3）／📐 Proposition X.7.5 #Card
    • 関数的正則位相の定義、別名（completely regular, Tikhonov, $T_{3\frac12}$）、開集合の基による特徴づけは。

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位相 $\xi$ が functionally regular（= completely regular）:⟺ 各閉集合 $F$・$x\notin F$ に対し $f\in C$ で $F\subset{f=0},\ f(x)=1$。Hausdorff + functionally regular = Tikhonov（$T_{3\frac12}$）位相。

Prop X.7.5: $\xi$ が functionally regular $\iff$ 開集合系が cards/topology/functionally-closed-open-sets（関数的開集合）からなる base を持つ。

zero-dimensional ⟹ functionally regular（clopen 集合の特性関数が連続）。functionally regular ⟹ cards/topology/regular-topology（位相的正則）（自明、$f$ から開集合対を作れる）— 逆は不成立（次カードの反例）。

Čech–Stone コンパクト化などの重要な構成が可能なクラスとして、分離公理の中でも特に重視される（Remark X.7.4）。