Functionally closed/open sets（Definition X.6.1）
- Functionally closed/open sets（Definition X.6.1） #Card
- 関数的閉・開集合の定義、$\mathcal{C}\xi^{\mathrm{I}}\subset\mathcal{C}\xi$ が真に狭くなる例は。
$C:=C(\xi,\nu)$ と略記。$A$ が functionally open :⟺ $\exists f\in C,\ A={f>0}$。functionally closed :⟺ $\exists f\in C,\ A={f=0}$。
$\mathcal{C}\xi^{\mathrm{I}}\subset\mathcal{C}\xi$、$\mathcal{O}\xi^{\mathrm{I}}\subset\mathcal{O}\xi$（一般に真の包含）。関数的閉 ⟺ 補集合が関数的開（${|f|>0}$ 経由）。
Example X.6.2（反例）: cards/topology/sierpinski-topology $$0$ 上の連続実関数は定数のみ（$f(0)=0,f(1)=1$ なる連続関数があれば ${0}={f=0}\in\mathcal{C}{$0}$ となり矛盾）。よって非自明な関数的閉集合が存在しない — $\mathcal{C}{$0}^{\mathrm{I}}={\emptyset,{0,1}}\subsetneq\mathcal{C}{$_0}={\emptyset,{1},{0,1}}$。
構造: 関数的閉集合は可算交叉（cards/topology/g-delta-f-sigma-sets の $G_\delta$）、有限合併で閉じる。任意交叉では閉じない（prime cocountable 位相が反例、Example X.7.23）。