Sierpiński topology $\$$（VII.5）
- Sierpiński topology $$$（VII.5） #Card
- 2点集合 ${0,1}$ 上の上・下 Sierpiński 位相 $$_0, $_1$ と、閉集合との対応（Lemma VII.5.1）は。
${0,1}$ 上、$\mathcal{C}_{$0} = {\emptyset,{1},{0,1}}$（上）、$\mathcal{C}{$1} = {\emptyset,{0},{0,1}}$（下）。$\lim{$0} 0^\uparrow = {0,1}$、$\lim{$_0} 1^\uparrow = {1}$。
Lemma VII.5.1: 収束 $\xi$ で $$f \in C(\xi,$_0) \iff f^-(1) \text{ が } \xi\text{-閉}, \qquad f \in C(\xi,$_1) \iff f^-(1) \text{ が } \xi\text{-開}.$$
（特性関数 $\chi_A$ を使うと $f \in C(\xi,$0) \iff f = \chi_H,\ H \in \mathcal{C}\xi$。）これにより $\xi$-閉集合と $C(\xi,$_0)$ の間に全単射が生まれる — 閉集合 = Sierpiński 空間への連続写像。
Mathlib の Sierpinski Space（Prop を離散/Sierpiński 位相として使う慣習と類似）。