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Functionally separated / exactly separated（Definition X.7.1）／📐 Lemma X.7.2

  • Functionally separated / exactly separated（Definition X.7.1）／📐 Lemma X.7.2 #Card
    • 関数的分離・完全分離の定義と、disjoint な関数的閉集合が常に完全分離できることの構成は。

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$A_0,A_1$ が functionally separated :⟺ $\exists f\in C,\ A_0\subset{f=0},\ A_1\subset{f=1}$。同値: $\sup_{A_0}f<\inf_{A_1}f$（Exercise X.10.2）。functionally exactly separated :⟺ 等号で $A_0={f=0},A_1={f=1}$。

Lemma X.7.2: disjoint な cards/topology/functionally-closed-open-sets $A_0={f_0=0},A_1={f_1=0}$ は常に functionally exactly separated: $$f(x) := \frac{|f_0(x)|}{|f_0(x)|+|f_1(x)|}$$ （分母は disjoint 性から常に正）。

関数的完全分離 ⟹ 関数的分離 ⟹ disjoint、という強さの階層。関数的分離は $A_0,A_1$ が関数的閉である必要はない点に注意（Lemma X.7.2 の前提と定義の違い）。