Lower/upper convergence $\nu_-,\nu_+$ (X.1)
- Lower/upper convergence $\nu_-,\nu_+$ (X.1) #Card
- 実数直線上の下・上収束の定義。位相であることと、位相クラスで initially dense であることは。
$$r \in \lim{}{\nu-} \mathcal{F} :\iff r \leq \sup_{F\in\mathcal{F}} \inf F, \qquad r \in \lim{}{\nu+} \mathcal{F} :\iff r \geq \inf_{F\in\mathcal{F}} \sup F.$$
$\nu_-$-開集合は $\emptyset,\mathbb{R},]{-\infty},t[$（同型 $r\mapsto -r$ で $\nu_+$ と同相）。 Prop X.1.1: $\nu_-,\nu_+$ は位相（$\mathcal{O}{\nu-}$ が開集合公理を満たす直接確認）。 Prop X.1.2: $\nu_-,\nu_+$ は位相クラスで cards/topology/initial-density（$$_0$ を経由: $f(0)=0,f(1)=1$ の埋め込みで検証）。
$$\nu_- \vee \nu_+ = \nu_{\mathbb{R}} \quad (\text{標準位相}).$$
（上限は Cor VII.4.2 で自動的に位相。開区間 $]s,t[$ が両方の開集合の交わりとして復元される。）
測度論への視線: $\nu_-,\nu_+$ は Borel 集合の生成における半開区間位相（上半連続関数・下半連続関数の値域位相）そのもの。半連続関数 $\iff C(\xi,\nu_\pm)$（次カード）という定式化の舞台。