Topologizer $T$ (Theorem VII.4.1)
- Topologizer $T$ (Theorem VII.4.1) #Card
- $T\xi$ の定義・構成と3性質は。
Theorem VII.4.1: 任意の収束 $\xi$ に対し、$\xi$ より粗い位相のうち最細のもの $T\xi$（topologization）が存在。構成: $$\lim{}\eta \mathcal{F} := \bigcap{A \in \mathcal{F}^{#}} \operatorname{cl}_\xi A, \qquad \eta = T\xi.$$
鍵の事実: $\mathcal{C}{T\xi} = \mathcal{C}\xi$（topologization しても閉集合族は変わらない）。
3性質（(VII.4.2)–(VII.4.4)、$S_0$ と同型）: $$\zeta \geq \xi \implies T\zeta \geq T\xi \quad (増加)$$ $$T\xi \leq \xi \quad (縮小)$$ $$T(T\xi) \geq T\xi \quad (\text{ここは等号ではなく} \geq\text{! 実は} T\text{は冪等でない一般形})$$
対比: cards/topology/pretopologizer-s0（$S_0$）は3性質すべて等号込みで冪等・始収束と可換だが、$T$ は始収束とも積とも可換しない（Arens topology の例、後述）。