Definition VII.3.1（位相 Topology）

• Definition VII.3.1（位相 Topology） #Card
  • 収束が「位相」であることの定義は。

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収束 $\theta$ が topology :⟺ $\theta$ が前位相であり、かつ $\operatorname{adh}\theta$ が冪等: $$\operatorname{adh}\theta(\operatorname{adh}\theta A) \subset \operatorname{adh}\theta A \quad \text{for each } A. \tag{VII.3.1}$$

同値に $\operatorname{inh}\theta B \subset \operatorname{inh}\theta(\operatorname{inh}_\theta B)$。

章の冒頭の要約: 「位相 = adherence が冪等な前位相」。収束 ⊃ 前位相 ⊃ 位相、というクラスの包含関係（$\mathbb{T} \subset \mathbb{S}_0 \subset \mathbb{I}$）。前位相性チェックは各点の vicinity filter だけで済むが（pointwise property, VII.7.4）、位相性は pointwise でない — これが「位相のクラスは扱いにくい」の技術的核心（Prop VII.7.5 対比）。

Meaning

章冒頭で著者は一行で述べる: 「位相は adherence が冪等な前位相である」。位相は最も知られ研究されている収束だが、本書では前位相の特別な場合として現れる。位相のクラスは一般の収束や前位相より扱いにくいため、より広い視点から取り組む——Definition VII.3.1 の冪等性条件が、その upgrade の形式的内容である。

出典: refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp7-2024-topological-structures.pdf p.128, VII.3.1

Lean

TopologicalSpace（開集合公理から出発する Mathlib の定義とは道が異なるが同値。Thm VII.5.2 経由で橋渡し可能）。