Diagonal Product Map (対角積写像) (Definition IV.7.1)
- Diagonal Product Map (対角積写像) (Definition IV.7.1) #Card
- Given $f_j : V \to X_j$ (common domain), the diagonal product map $\triangle_{k \in J} f_k : V \to \prod_{j \in J} X_j$ is the unique map with $p_j \circ f = f_j$: $(\triangle_k f_k)(v)(j) = f_j(v)$.
Given a family of maps $f_j : V \to X_j$ (共通の定義域) for each $j \in J$, the diagonal product map $$\triangle_{k \in J} f_k : V \to \prod_{j \in J} X_j$$ is the unique map $f$ such that $p_j \circ f = f_j$ for each $j$; explicitly $(\triangle_k f_k)(v)(j) = f_j(v)$.
- 分解: $\triangle_j f_j = (\prod_j f_j) \circ \triangle$（積写像 ∘ 対角写像）。2 変数では $(\varphi \triangle \psi)(v) = (\varphi(v), \psi(v))$。
- 単射性: どれか 1 つの $f_j$ が単射なら $\triangle_j f_j$ も単射（Cor IV.7.3）。より precisely: $\triangle_j f_j$ 単射 $\iff {f_j}$ が点を分離する（Prop IV.7.5）。因子が全部非単射でも良い例: $\cos \triangle \sin : [0, 2\pi[ \to \mathbb{R}^2$（像は単位円）。
- 連続性（Prop IV.7.6）: $\triangle_j f_j \in C(\xi, \prod_j \tau_j) \iff f_j \in C(\xi, \tau_j)$ for each $j$。
- グラフ: $i_X \triangle f : X \to \operatorname{gr}(f)$ は全単射。