📐 Proposition VII.3.2 / Corollary VII.3.3・VII.3.6（$\lim$ の閉集合・開集合表示）
- 📐 Proposition VII.3.2 / Corollary VII.3.3・VII.3.6（$\lim$ の閉集合・開集合表示） #Card
- 位相 $\theta$ で $\lim_\theta \mathcal{F}$ を閉集合・開集合で表すと。
$$\lim{}\theta \mathcal{F} = \bigcap{A \in \mathcal{F}^{#}} \operatorname{cl}_\theta A \tag{VII.3.2}$$
（前位相の公式 VI.1.6 で $\operatorname{adh} = \operatorname{cl}$ に置き換わっただけ）。
Cor VII.3.3: $x \in \lim_\theta \mathcal{F} \iff x \in C$ for every $\theta$-closed $C \in \mathcal{F}^{#}$。
Cor VII.3.6: $x \in \lim_\theta \mathcal{F} \iff O \in \mathcal{F}$ for every $O \in \mathcal{O}\theta(x)$、同値に $\mathcal{N}\theta(x) \leq \mathcal{F}$。
（最重要: 位相での収束は近傍フィルターによる古典的な $\varepsilon$-$\delta$ 型の定義そのもの。）
本ノート RoyalRoad.ChapterVII.prop_VII_3_2 / cor_VII_3_6（F ≤ 𝓝 x ↔ ∀ A, (A が F と mesh) → x ∈ closure A と近傍フィルター版、Notes/ChapterVII.lean、lake build 済み）