Neighborhood of $x$ (近傍) (in $\mathbb{R}$)

• Neighborhood of $x$ (近傍) (in $\mathbb{R}$) #Card
  • A subset $V \subset \mathbb{R}$ such that there exists a strict interval $]a, b[$ with $a < x < b$ and $]a, b[ \subset V$. The family of all neighborhoods of $x$ is denoted by $\mathcal{N}(x)$.

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A subset $V \subset \mathbb{R}$ such that there exists a strict interval $]a, b[$ with $a < x < b$ and $]a, b[ \subset V$. The family of all neighborhoods of $x$ is denoted by $\mathcal{N}(x)$.

Meaning

区間 $]x - \varepsilon, x + \varepsilon[$ は $x$ の（対称な）近傍の特例である。$\mathcal{N}(x)$ はすべての近傍 $x$ の族であり、isotone・finitely complete・proper である（実際には各 $V \in \mathcal{N}(x)$ について $x \in V$ というより強い性質が成り立つ）。

Proposition II.1.1 では、列 $\varphi$ が $x$ に収束することと $\mathcal{N}(x) \subset \Gamma_\varphi$ が同値である——点 $x$ に付随する集合族が、列に付随する集合族に含まれるという包含関係に収束が還元される。

出典: refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp2-2024-from-convergence-of-sequences-to-the-concept-of-filter.pdf p.18–19

Lean

近傍フィルター nhds x (𝓝 x)