集合の adherence $\operatorname{adh}_\xi A$ (VI.1)
- 集合の adherence $\operatorname{adh}_\xi A$ (VI.1) #Card
- 収束 $\xi$ に対する $\operatorname{adh}_\xi A$ の定義と、フィルターによる特徴付けは。
$$\operatorname{adh}\xi A := \bigcup{\mathcal{F} # A} \lim{}_\xi \mathcal{F} \tag{VI.1.5}$$
- Remark VI.1.3: $x \in \operatorname{adh}\xi A$ ⟺ あるフィルター $\mathcal{H}$ で $A \in \mathcal{H}$ かつ $x \in \lim\xi \mathcal{H}$。
- Prop VI.1.4（$\xi$ が前位相のとき）: $x \in \operatorname{adh}\xi A \iff A \in \mathcal{V}\xi(x)^{#}$。
- ⟸ 方向は一般の収束構造では成立しない: 前位相でなければ近傍フィルター $\mathcal{V}\xi(x)$ 自身が $x$ に収束するとは限らず（$\mathcal{V}\xi(x) := \bigwedge_{\mathcal{F}\in\xi^-(x)}\mathcal{F}$ が最粗収束フィルターになるのは前位相の特徴）、$A \in \mathcal{V}\xi(x)^{#}$ から $x\in\operatorname{adh}\xi A$ を導く $\mathcal{F}#A$ が作れない。前位相であれば $\mathcal{V}_\xi(x)\vee A$ が収束フィルターを与える。
- Prop VI.1.5: $\xi$ が前位相 ⟺ $\lim_\xi \mathcal{F} = \bigcap_{H \in \mathcal{F}^{#}} \operatorname{adh}_\xi H$ — 前位相は adherence で完全に決まる。
- $\zeta \geq \xi \implies \operatorname{adh}\zeta A \subset \operatorname{adh}\xi A$。
位相なら $\operatorname{adh}\xi = \operatorname{cl}\xi$（Cor VII.1.8）。
位相の場合は closure（mem_closure_iff_clusterPt）。一般の収束構造では Mathlib 対応物なし。