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Grill・mesh 関係 $\#$ (V.3)

  • Grill・mesh 関係 $#$ (V.3) #Card
    • $A # B$（mesh）と grill $\mathcal{A}^{#}$ の定義は。

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集合: $A # B \iff A \cap B \neq \emptyset$ (V.3.1)。族 $\mathcal{A}, \mathcal{B} \subset 2^X$: $\mathcal{A} # \mathcal{B}$ ⟺ すべての対 $A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{B}$ が交わる。mesh しないとき dissociated（$\mathcal{A} \perp \mathcal{B}$）。

Grill: $\mathcal{A}^{#} := {H \subset X : \forall A \in \mathcal{A},\ H \cap A \neq \emptyset}$。

  • (V.3.3) $\mathcal{A} \leq \mathcal{B} \implies \mathcal{A}^{#} \supset \mathcal{B}^{#}$（細かいほど grill は小さい）
  • $\mathcal{A}^{#}$ は isotone、$\mathcal{A} \subset \mathcal{A}^{##}$
  • フィルター $\mathcal{F}$ では $\mathcal{F} \subset \mathcal{F}^{#}$。$\mathcal{F}^{#}$ =「$\mathcal{F}$ のどの元とも交わる集合」の全体で、$\operatorname{adh}$ や $\lim$ の公式（VI.1.6, VII.3.2）の添字に頻出。