📐 Lemma VIII.1.2（フィルターの adherence は超フィルターの極限の合併）
- 📐 Lemma VIII.1.2（フィルターの adherence は超フィルターの極限の合併） #Card
- $\operatorname{adh}_\xi \mathcal{F}$（$\mathcal{F}$ がフィルター）を超フィルターで書き直すと。この公式が任意の族には拡張されない理由は。
$$\operatorname{adh}\xi \mathcal{F} = \bigcup{\mathcal{F} \ni \mathcal{G} \supset \mathcal{F}} \lim{}\xi \mathcal{G} = \bigcup{\mathcal{U} \in \beta\mathcal{F}} \lim{}_\xi \mathcal{U} \tag{VIII.1.6}$$
（$\beta\mathcal{F}$ = $\mathcal{F}$ を細分する超フィルター全体。）帰結: $\lim_\xi \mathcal{F} \subset \operatorname{adh}\xi \mathcal{F}$（(VIII.1.7)、$\mathcal{F}\subset\mathcal{F}^{#}$ より）、超フィルター $\mathcal{U}$ では $\operatorname{adh}\xi \mathcal{U} = \lim_\xi \mathcal{U}$。
任意の族 $\mathcal{F}$ には拡張不可: $F_0, F_1 \in \mathcal{F}$ が非交なら $\beta\mathcal{F} = \emptyset$ だが $\operatorname{adh}\xi{F_0,F_1} = \operatorname{adh}\xi F_0 \cup \operatorname{adh}_\xi F_1$ は非空になりうる（フィルターの「共通の細分」という構造が族一般では失われる）。
本ノート RoyalRoad.ChapterVIII.lem_VIII_1_2（ClusterPt x F ↔ ∃ U : Ultrafilter X, ↑U ≤ F ∧ ↑U ≤ 𝓝 x、Ultrafilter.exists_le から、Notes/ChapterVIII.lean、lake build 済み）