📐 Lemma IX.1.21（可算開被覆による正規性の十分条件）／Corollary IX.1.22
- 📐 Lemma IX.1.21（可算開被覆による正規性の十分条件）／Corollary IX.1.22 #Card
- free 位相が正規であるための可算被覆条件と、可算集合上の正則位相への帰結は。
free 位相 $X$ で、各閉集合 $F$・$O\in\mathcal{O}_X(F)$ に対し可算開被覆 ${O_n:n<\omega}$ of $F$ が存在し $\bigcup_n\operatorname{cl}_X O_n\subset O$ ならば $X$ は正規。
証明の骨子: 2組の可算被覆から $G_n:=O_n\setminus\bigcup_{k\leq n}\operatorname{cl} V_k$、$H_n:=V_n\setminus\bigcup_{k\leq n}\operatorname{cl} O_k$ を作ると $\bigcup G_n,\bigcup H_n$ が disjoint な開近傍になる（「縮小によるすれ違い」の技法、後の paracompactness 論法の原型）。
Cor IX.1.22: 可算集合上の free 正則位相は正規（正則性から各点で $\operatorname{cl} O_x\subset O$ を取り、可算性で自動的に可算被覆になる）。