📐 Proposition IX.5.4・Corollary IX.5.5（グラフが閉であることの判定）
- 📐 Proposition IX.5.4・Corollary IX.5.5（グラフが閉であることの判定） #Card
- 終収束 $f\xi$ に関する閉集合の判定条件と、連続写像＋Hausdorff値域からグラフの閉性を導く経路は。
Prop IX.5.4: $D$ が $f\xi$-閉 $\iff$ $f^-(D)$ が $\xi$-閉。（$D\supset\operatorname{adh}{f\xi}D=D\cup f(\operatorname{adh}\xi f^-(D))\iff f(\operatorname{adh}\xi f^-(D))\subset D$、そして (IV.1.2) 経由で $\operatorname{adh}\xi f^-(D)\subset f^-(D)$ が閉性そのもの。）
Cor IX.5.5: $\tau$ が Hausdorff、$f\in C(\xi,\tau)$ なら $\operatorname{gr}(f)$ は $(\xi\times\tau)$-閉。
証明: $\operatorname{gr}(f)=(f\times i_Y)^-\triangle(Y)$（対角の逆像として書き直す）、cards/topology/hausdorff-diagonal-closed（Prop IX.1.2）から $\triangle(Y)$ が $\tau\times\tau$-閉、$f\times i_Y\in C(\xi\times\tau,\tau\times\tau)$ で逆像は閉。
注意: 逆（グラフが閉 ⟹ 連続）は一般に成り立たない（cards/topology/example-viii-4-3-inverse-function-discontinuous が反例）。正則性を課すと部分的に回復する（Exercise IX.5.6）。