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Example VIII.4.3（$1/x$ の不連続性とグラフの閉性の非対称）

  • Example VIII.4.3（$1/x$ の不連続性とグラフの閉性の非対称） #Card
    • $f(x)=1/x$（$f(0):=0$）が $0$ で不連続なことと、対応する関係がグラフ閉であることは矛盾しないのはなぜか。

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$X=Y=\mathbb{R}$（標準前位相 $\nu$）。$f(x):=1/x$（$x\neq0$）、$f(0):=0$。$f$ は各 $x\neq0$ で連続だが $0$ では不連続: $$\lim{}_\nu(1/n)n={0}, \quad \lim{}\nu(f(1/n))n=\lim{}\nu(n)_n=\emptyset.$$

対応する関係 $R$（$Rx={1/x}$、$R0={0}$）はgraph-closed（$x\neq0$ での連続性から従う）。しかし $f$ は $0$ で連続でない — グラフが閉であることは連続性を含意しない（逆は一般に真: 連続 ⟹ グラフ閉、Hausdorff 値域で）。

証明のポイント: $\mathcal{V}\nu(0)$ の像 $f[\mathcal{V}\nu(0)]$ の基は ${]-\infty,-n]\cup{0}\cup[n,+\infty[}$。この基から生成される超フィルターは 3通りに分岐し（${0}\in\mathcal{U}$、または左右どちらかの裾が $\mathcal{U}$ に入る）、後2者は収束しない — Closed Graph Theorem の限界を具体的に示す反例。