📐 Proposition IX.1.27（hereditarily normal の3同値条件）／Example IX.1.28
- 📐 Proposition IX.1.27（hereditarily normal の3同値条件）／Example IX.1.28 #Card
- 遺伝的正規性の3つの言い換えと、正規だが遺伝的正規でない反例は。
位相 $\xi$ が hereditarily normal（すべての部分空間が正規）と次は同値:
- すべての部分空間が正規
- すべての開部分空間が正規
- 任意の cards/topology/separated-sets $A_0,A_1$ に対し disjoint な開集合 $O_0\supset A_0,\ O_1\supset A_1$ が存在
（(2)⟹(3) は $W:=X\setminus(\operatorname{cl}A\cap\operatorname{cl}B)$ という開部分空間への還元、(3)⟹(1) は Lemma IX.1.25 経由。）
Example IX.1.28（反例）: 可算集合 $X$ と非可算集合 $Y$ にそれぞれ prime cofinite 位相を入れた積 $X\times Y$ は正規（Prop IX.3.4、後述）だが、対角の1点を除いた $Z:=X\times Y\setminus{(x_\infty,y_\infty)}$ は正規でない（可算個の cofinite 集合の交叉がなお非空、という濃度論法）。
正規性は hereditary（遺伝的）でない性質の代表例。