Linear dependence lemma (LADR 2.19)
- Linear dependence lemma (LADR 2.19) #Card
- 線形従属補題の主張（2つの結論）は？
補題. $v_1,\dots,v_m$ が線形従属なら、ある $k\in{1,\dots,m}$ が存在して
- $v_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1})$（前のベクトルたちの span に入る）。
- さらに、そのような $k$ について第 $k$ 項を除いても span は変わらない。
証明の骨子: 非自明表現 $a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0$ で $a_k\neq0$ なる最大の $k$ を取り、$v_k=-\frac{a_1}{a_k}v_1-\cdots-\frac{a_{k-1}}{a_k}v_{k-1}$。除去後も span が同じなのは、任意の線形結合中の $v_k$ をこの式で置換できるから。
注: $k=1$ の場合は $v_1\in\operatorname{span}(,)={0}$、すなわち $v_1=0$ を意味する。
射程: この章の背骨。2.22（独立 ≤ 生成）・2.25・2.30（生成リストの基底への削減）はすべてこの補題で回る。