Every subspace is part of a direct sum (LADR 2.33)
- Every subspace is part of a direct sum (LADR 2.33) #Card
- 有限次元 $V$ の部分空間 $U$ に対して、どんな $W$ の存在が保証されるか？その作り方は？
命題. $V$ が有限次元、$U$ が部分空間なら、$V=U\oplus W$ なる部分空間 $W$（補空間）が存在する。
構成: $U$ の基底 $u_1,\dots,u_m$（2.25 + 2.31）を $V$ の基底 $u_1,\dots,u_m,w_1,\dots,w_n$ に拡張（cards/linear-algebra/prop-2-32）し、$W=\operatorname{span}(w_1,\dots,w_n)$。
- $V=U+W$: 任意の $v$ を基底で展開し $u$ 部分と $w$ 部分に分ける。
- $U\cap W={0}$: 両方に属す元は基底の独立性から $0$。cards/linear-algebra/prop-1-46 で直和。
射程: 補空間は一意でない（基底拡張の自由度）。第6章で内積があると直交補空間 $U^\perp$ という標準的な選択が生まれ、射影＝条件付き期待値の幾何につながる。
Submodule.exists_isCompl（IsCompl U W）。