Dimension of a sum (LADR 2.43)
- Dimension of a sum (LADR 2.43) #Card
- 部分空間の和の次元公式は？証明の構成のポイントは？
命題. 有限次元空間の部分空間 $V_1,V_2$ について $$\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2).$$
証明の構成: $V_1\cap V_2$ の基底 $v_1,\dots,v_m$ を、$V_1$ の基底 $v_1,\dots,v_m,u_1,\dots,u_j$ と $V_2$ の基底 $v_1,\dots,v_m,w_1,\dots,w_k$ にそれぞれ拡張（cards/linear-algebra/prop-2-32）。連結リスト $v_1,\dots,v_m,u_1,\dots,u_j,w_1,\dots,w_k$ が $V_1+V_2$ の基底になることを示す（独立性の核心: $c_1w_1+\cdots+c_kw_k\in V_1\cap V_2$ に追い込んで係数を消す）。
類似: 有限集合の包除原理 $#(S_1\cup S_2)=#S_1+#S_2-#(S_1\cap S_2)$。特に $$\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2\iff V_1\cap V_2={0}\iff \text{直和}$$ （cards/linear-algebra/prop-1-46）。3つ以上では単純な包除は成立しない（Ex 2C.19）。
Submodule.finrank_sup_add_finrank_inf_eq。