Subspace of full dimension equals the whole space (LADR 2.39)
- Subspace of full dimension equals the whole space (LADR 2.39) #Card
- $\dim U=\dim V$ なる部分空間 $U$ について何が言えるか？
命題. $V$ が有限次元、$U\subseteq V$ が部分空間で $\dim U=\dim V$ なら $U=V$。
証明: $U$ の基底 $u_1,\dots,u_n$（$n=\dim U=\dim V$）は $V$ の中の長さ $\dim V$ の独立リストなので、cards/linear-algebra/prop-2-38 により $V$ の基底。よって $V$ の全元が $u$ たちの線形結合＝$U$ の元。∎
手筋: 「部分空間が全体に一致することを示す」→次元を数えるだけでよい（例 2.41: ${p\in\mathcal{P}_3(\mathbf{R}):p‘(5)=0}$ の基底を独立リスト＋次元の挟み撃ちで決定）。
Submodule.eq_top_of_finrank_eq。