📐 Proposition XII.3.9・Corollary XII.3.11（正則な局所コンパクト ⟹ 遺伝的局所コンパクト；連続写像で保存されない）
- 📐 Proposition XII.3.9・Corollary XII.3.11（正則な局所コンパクト ⟹ 遺伝的局所コンパクト；連続写像で保存されない） #Card
- regular な locally compactoid 位相が hereditarily locally compact になる理由は。局所コンパクト性が連続写像で保存されない証拠は。
Prop XII.3.9: regular な locally compactoid 位相は hereditarily locally compact。
証明: $V\in\mathcal{N}\xi(x)$ が $\xi$-compactoid なら、正則性から $\xi$-閉な $C\in\mathcal{N}\xi(x)$ で $C\subset V$ が取れる。$C$ は閉かつ compactoid なので compact。
Cor XII.3.11: 局所コンパクト性は連続写像で保存されない。
証明: 離散位相 $\iota_X$ は局所コンパクトで、恒等写像 $i\in C(\iota_X,\xi)$ は任意の位相 $\xi$（局所コンパクトでなくてもよい）への連続写像になる。$\xi$ が局所コンパクトでなければ反例が完成。
「粗い位相から細かい位相への恒等写像は常に連続」という一般原理を局所コンパクト性の非保存の証拠として使う、economical な反例構成。