Open map・closed map（Definition IX.4.3）／📐 Proposition IX.4.4・IX.4.5
- Open map・closed map（Definition IX.4.3）／📐 Proposition IX.4.4・IX.4.5 #Card
- 開写像・閉写像の定義と、それらが topologically quotient を含意する証明の鍵は。
写像が open :⟺ 開集合の像が開。closed :⟺ 閉集合の像が閉。
Prop IX.4.4: 全射連続 open map は cards/topology/topologically-quotient-map。 証明: $f^-(P)\in\mathcal{O}\xi\implies P=f(f^-(P))\in\mathcal{O}\tau$（全射性で $f(f^-(P))=P$、開写像性で像が開）。
Prop IX.4.5: 全射連続 closed map も同様（$X\setminus f^-(P)=f^-(Y\setminus P)$ が閉 $\implies f(f^-(Y\setminus P))=Y\setminus P$ が閉 $\implies P$ が開）。
注意: topologically quotient は open でも closed でもある必要はない（Example IX.4.6/4.7 が反例）。open map・closed map は quotient map の十分条件だが必要条件ではない。