📐 Proposition XII.8.3・XII.8.4（無限 MAD family は非可算；濃度 $\mathfrak{c}$ の MAD family が存在）
- 📐 Proposition XII.8.3・XII.8.4（無限 MAD family は非可算；濃度 $\mathfrak{c}$ の MAD family が存在） #Card
- 無限 MAD family がなぜ可算になれないか。濃度 $\mathfrak{c}$ の MAD family をどう構成するか。
Prop XII.8.3: 無限可算集合上の無限 MAD family は非可算。
証明: $\mathcal{A}={A_n:n<\omega}$（相異なる）が MAD だとして、各 $A_n$ から対角的に $x_n\in A_n\setminus(A_0\cup\cdots\cup A_{n-1})$ を選べば、${x_n:n<\omega}$ が $\mathcal{A}$ のどの元とも有限交叉しか持たない新しい無限集合になり、maximality に矛盾。
Prop XII.8.4: 可算無限集合上には濃度 $\mathfrak{c}$ の MAD family が存在。
証明: $\mathbb{Q}$ 上に構成。各無理数 $r$ に対し $r$ に収束する有理数列 $\varphi_r$ を取り、$\mathcal{R}:={\varphi_r(\mathbb{N}):r\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}$ は AD（相異なる無理数への収束列は有限個しか値を共有しない）で濃度 $\mathfrak{c}$。Zorn の補題（Thm XXVII.4.8）で $\mathcal{R}$ を含む MAD family $\mathcal{A}$ に拡張すれば $\operatorname{card}\mathcal{A}\geq\mathfrak{c}$、上からは $\mathcal{A}\subset2^{\mathbb{N}}$ で抑えられる。
「無限だが可算」という中間サイズの MAD family は存在しない — 可算からいきなり $\mathfrak{c}$ 以上に跳躍する。