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$\sigma$-Initial Convergence ($\sigma$-始収束) (Definition IV.4.7)

  • $\sigma$-Initial Convergence ($\sigma$-始収束) (Definition IV.4.7) #Card
    • A convergence $\xi$ is $\sigma$-initial if there exists a set of maps $F$ such that $\xi = \bigvee_{f \in F} f^-\sigma$.

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Let $\sigma$ be a convergence. A convergence $\xi$ is called $\sigma$-initial if there exists a set of maps $F$ such that $\xi = \bigvee_{f \in F} f^-\sigma$.

  • 特徴づけ（Proposition IV.4.8）: $\xi$ is $\sigma$-initial $\iff \xi = \bigvee_{f \in C(\xi, \sigma)} f^-\sigma$。特に $\sigma$ は $\sigma$-initial。
  • 例（Example IV.4.9）: $\sigma_\mathbb{R}$ は $\nu_\mathbb{R}$-initial でない（$V_{\sigma}(x) = V_\nu(x)$ と Lemma IV.2.5 から矛盾が出る）。
  • 非離散なのに $\iota_{{0,1}}$-initial な収束が存在する——Cantor cube（Example IV.6.8）。
  • この概念は第X章 Functional Study of Topologies（$\sigma = \nu_\mathbb{R}$ の場合が completely regular 型の理論）への伏線。