Lemma II.1.4 (列型フィルターの包含の判定)
- Lemma II.1.4 (列型フィルターの包含の判定) #Card
- $\Gamma_\varphi \subset \Gamma_\psi$（$\varphi \in X^N$, $\psi \in X^K$）はいつ成り立つか。
$\Gamma_\varphi \subset \Gamma_\psi$ if and only if for each cofinite subset $G$ of $N$, the set $\psi^-(\varphi(G))$ is cofinite in $K$.
- 言い換え: 相関 $\psi^- \circ \varphi = {(n,k) : \varphi(n) = \psi(k)}$（cards/topology/correlation）が cofinite 集合を保つこと。
- $\psi$ が $\varphi$ の部分列ならこの条件が成り立つ（十分条件）。
- この節の達成: 列の収束論から添字集合の順序も、添字集合そのものも除去できる——残るのは cofinite 構造（＝自然数の順序の痕跡）だけ。
証明の骨子:
- 定義より $E \in \Gamma_\varphi \iff \varphi^-(E)$ が $N$ で cofinite。$\Gamma_\varphi \subset \Gamma_\psi$ とは「$\varphi^-(E)$ cofinite $\Rightarrow \psi^-(E)$ cofinite」がすべての $E$ で成り立つこと。
- $E$ を cofinite 集合 $G \subset N$ の像 $\varphi(G)$ が $E$ を近似する形に取り直すと、条件は「各 cofinite $G \subset N$ で $\psi^-(\varphi(G))$ が $K$ で cofinite」に帰着する（$\varphi(G) \in \Gamma_\varphi$ かつ $\Gamma_\varphi$ の基底は ${\varphi(G) : G \text{ cofinite}}$）。
- 相関 $\psi^- \circ \varphi = {(n,k) : \varphi(n)=\psi(k)}$（cards/topology/correlation）を使うと、この条件は「相関が cofinite 集合を保つ」と言い換えられる。
- $\psi$ が $\varphi$ の部分列（$\psi=\varphi\circ\gamma$, $\gamma$ 狭義増加）なら $\gamma^-$ が cofinite を保つので条件成立——これが十分条件（Cor II.1.2 の土台）。