📐 Proposition XV.3.4（$U(\mathcal{P},\mathcal{R})\subset C(\lambda\mathcal{P},\lambda\mathcal{R})$：一様連続 ⟹ 連続）
- 📐 Proposition XV.3.4（$U(\mathcal{P},\mathcal{R})\subset C(\lambda\mathcal{P},\lambda\mathcal{R})$：一様連続 ⟹ 連続） #Card
- 一様連続性が誘導された pretopology の連続性を含意することの証明は。逆は成り立つか。
$$U(\mathcal{P},\mathcal{R}) \subset C(\lambda\mathcal{P},\lambda\mathcal{R}).$$
証明: $f\in U(\mathcal{P},\mathcal{R})$、$x\in X$、$V\in\mathcal{V}{\lambda\mathcal{R}}(f(x))$ とする。$V\supset R(f(x))$ なる $R\in\mathcal{R}$ を取れば、一様連続性からある $P\in\mathcal{P}$ で $f(w)\in R(f(x))$（$w\in Px\in\mathcal{V}{\lambda\mathcal{P}}(x)$ すべてに対し）。
逆は成り立たない（Example X.5.5 参照：連続だが一様連続でない関数、例えば $x^2$ on $\mathbb{R}$）— 一様連続性は $X$ 全体で「$\delta$ を $x$ に依らず選べる」という真に強い条件。