Proposition II.3.6 (自由フィルターの inf)
- Proposition II.3.6 (自由フィルターの inf) #Card
- 自由フィルターの族の infimum はどうなるか。
Each infimum of free filters is free.
証明の骨子:
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cards/topology/lem-ii-2-8（Lemma II.2.8）より、$X$ 上のフィルターが自由 $\iff (X)_0$ を含む。
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自由フィルターの族 $\mathbb{F}$ の各元は $(X)_0$ を含むので、inf ＝ 共通部分（cards/topology/prop-ii-3-2）も $\bigwedge \mathbb{F} = \bigcap \mathbb{F} \supset (X)_0$。
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再び Lemma II.2.8 より $\bigwedge \mathbb{F}$ は自由。鍵は「自由性＝ $(X)_0$ 以上」という単調な下界条件が inf（共通部分）で保存されること。
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第III章の「自由収束の sup・inf は自由」（cards/topology/lem-iii-3-9）の土台。
本ノート RoyalRoad.ChapterII.prop_II_3_6（自由 ⟺ ≤ cofinite、本書 inf ＝ ⨆ は ≤ cofinite を保存: (⨆ i, f i) ≤ cofinite、Notes/ChapterII.lean、lake build 済み）