📐 Lemma XXIV.3.1（$\exp$ は $C(\xi\times\tau,\sigma)$ と $C(\tau,[\xi,\sigma])$ の間の全単射）
- 📐 Lemma XXIV.3.1（$\exp$ は $C(\xi\times\tau,\sigma)$ と $C(\tau,[\xi,\sigma])$ の間の全単射） #Card
- 2変数連続写像の集合的な指数化 cards/topology/exponentiation-transposition-bijection を、連続写像に制限するとどうなるか。
$\xi,\tau,\sigma$ をそれぞれ $X,Y,Z$ 上の収束とする。
Lemma XXIV.3.1: 指数化写像 $\exp$ の $C(\xi\times\tau,\sigma)$ への制限は、$C(\tau,[\xi,\sigma])$ への全単射。
証明: $\exp$ が $C(\xi\times\tau,\sigma)$ を $C(\tau,[\xi,\sigma])$ に送ることを示す——$\mathrm{ev}\circ(i_X\times\exp(f))=f$（cards/topology/exponentiation-transposition-bijection の脚注の等式）から、$f\in C(\xi\times\tau,\sigma)$ は $\xi\times\exp(f)^-\tau\geq\mathrm{ev}^-\sigma$ と同値。$[\xi,\sigma]$ が「$\mathrm{ev}$ を連続にする最粗の収束」（cards/topology/prop-xxiv-1-1-dual-convergence-coarsest）なので $\exp(f)^-\tau\geq[\xi,\sigma]$、すなわち $\exp(f)\in C(\tau,[\xi,\sigma])$。
全射性は $\mathrm{tp}$（転置）が逆向きに送ることを示せばよい: $h\in C(\tau,[\xi,\sigma])$、すなわち $h^-\tau\geq[\xi,\sigma]$ とすると、$\widehat{h}(x,y)=h(y)(x)$ より $\widehat{h}^-(\xi\times\tau)=\mathrm{ev}^-(\xi\times h^-\tau)\geq\mathrm{ev}^-(\xi\times[\xi,\sigma])\geq\sigma$、すなわち $\widehat{h}\in C(\xi\times\tau,\sigma)$。
cards/topology/thm-xxiv-3-2-exponential-law（指数法則）へのちょうど半分の証明——残りは、この全単射が同相でもあることを示すこと。