📐 Proposition XXIV.1.1（$[\xi,\sigma]$ の普遍性：評価写像を連続にする最粗の収束）
- 📐 Proposition XXIV.1.1（$[\xi,\sigma]$ の普遍性：評価写像を連続にする最粗の収束） #Card
- $[\xi,\sigma]$ が $C(\xi,\sigma)$ 上の収束の中でどのような普遍性を持つか。
Proposition XXIV.1.1: cards/topology/dual-natural-convergence $[\xi,\sigma]$ は、$C(\xi,\sigma)$ 上の収束 $\theta$ で評価写像 $\mathrm{ev}\in C(\xi\times\theta,\sigma)$ となるもののうち最粗（$\theta\geq[\xi,\sigma]$）。
証明: 定義から $\mathrm{ev}\in C(\xi\times[\xi,\sigma],\sigma)$。もし $\mathrm{ev}\in C(\xi\times\theta,\sigma)$ なら、$[\xi,\sigma]$ の最粗性から $\theta\geq[\xi,\sigma]$。
Proposition IV.3.15 により、$\mathrm{ev}\in C(\xi\times[\xi,\sigma],\sigma)$ は随伴的に $\xi\times[\xi,\sigma]\geq\mathrm{ev}^-\sigma$（(XXIV.1.3)）と同値——これが後続の議論（cards/topology/lemma-xxiv-2-8-reflector-coreflector-density-criterion・cards/topology/thm-xxiv-3-2-exponential-law）で反復的に使われる不等式の形。
「評価が連続」という条件を満たす最粗の収束、という普遍性による特徴づけは、圏論的な随伴（$\times$ と $[\cdot,\cdot]$ の随伴、cards/topology/thm-xxiv-3-2-exponential-law の指数法則）の位相版の核心。