📐 Lemma XXIV.2.8（積の混合性質の安定性を、稠密な部分クラスへの判定に還元する）

📐 Lemma XXIV.2.8（積の混合性質の安定性を、稠密な部分クラスへの判定に還元する） #Card
- 「$\theta\times\tau\geq J(\xi\times\tau)$ が $E$-不動点の全ての $\tau$ で成り立つか」を、稠密な部分クラス $W,D$ だけでチェックすれば十分であることをどう示すか。

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$J$ を reflector、$E$ を coreflector、$W$ を $\mathrm{fix}(E)$ で finally dense、$D$ を $\mathrm{fix}(J)$ で initially dense（cards/topology/reflector-coreflector-density-criterion、第XVII章の枠組み）とする。次は同値（第XXI章の混合性質の積での安定性の議論、第XXVI章の応用のための準備）:

$\forall_{\tau=E\tau}\ \theta\times\tau\geq J(\xi\times\tau)$;
$\forall_{\tau=E\tau}\forall_{\sigma=J\sigma}\ C(\xi\times\tau,\sigma)\subset C(\theta\times\tau,\sigma)$;
$\forall_{\tau\in W}\forall_{\sigma\in D}\ C(\xi\times\tau,\sigma)\subset C(\theta\times\tau,\sigma)$;
$\forall_{\tau\in W}\ \theta\times\tau\geq J(\xi\times\tau)$.

証明の骨子: (1)⟺(2) と (3)⟺(4) は cards/topology/reflector-coreflector-density-criterion（Proposition XVII.4.8）の直接の帰結。(2)⟹(3) は自明。(3)⟹(2) が本質: $\tau=E\tau$、$\sigma=J\sigma$ を任意に取り、$\tau=E\tau=C_W\tau=\bigwedge_{\alpha\in W}\bigwedge_{f\in C(\alpha,\tau)}f_\alpha$、$\sigma=J\sigma=R_D\sigma=\bigvee_{\delta\in D}\bigvee_{g\in C(\sigma,\delta)}g^-\delta$ という稠密性由来の表示を使い、$\xi\times\tau$ を $\alpha\in W$・$f\in C(\alpha,\tau)$ の下限として展開し、cards/topology/prop-xxiv-1-5-dual-convergence-infima-suprema・cards/topology/prop-xxiv-2-5-dual-convergence-pullback-surjective・cards/topology/prop-xxiv-2-7-dual-convergence-pullback-lower を組み合わせて (XXIV.2.3) を導出、(3) の仮定を underlying set レベルで適用して $C(\xi\times\tau,\sigma)\subset C(\theta\times\tau,\sigma)$ を結論。

積の性質の安定性を「全ての $\tau$」でなく「稠密な代表 $W$」だけでチェックすれば済むようにする、という縮約テクニック——第XXI章の混合性質の理論を実際に適用する際の定石。