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📐 Proposition XVII.4.8（reflector の全体的な下からの評価を、稠密な部分クラスでの判定に還元）

  • 📐 Proposition XVII.4.8（reflector の全体的な下からの評価を、稠密な部分クラスでの判定に還元） #Card
    • $\theta\geq J\xi$（$J$ は reflector）という不等式を、写像の連続性のクラス全体でチェックする代わりに、$\mathrm{fix}(J)$ の稠密な部分クラス $D$ だけでチェックしてよい理由は。

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$J$ を reflector（reflective クラス上の projector）、$D$ を $\mathrm{fix}(J)$ で initially dense（各 $\sigma\in\mathrm{fix}(J)$ に対し $\sigma=R_D\sigma:=\bigvee_{\delta\in D}\bigvee_{g\in C(\sigma,\delta)}g^-\delta$ となること）とする。

Proposition XVII.4.8: 次は同値。

  1. $\theta\geq J\xi$;
  2. $C(\xi,\sigma)\subset C(\theta,\sigma)$（各 $\sigma=J\sigma$ で）;
  3. $C(\xi,\sigma)\subset C(\theta,\sigma)$（各 $\sigma\in D$ で）。

証明: (1)⟹(2) は $\sigma=J\sigma$ のとき $C(\xi,\sigma)\subset C(J\xi,J\sigma)=C(J\xi,\sigma)\subset C(\theta,\sigma)$（(IV.3.4) と (1) より）。(2)⟹(3) は自明（$D\subset\mathrm{fix}(J)$）。(3)⟹(1) が本質: $\sigma\in D$、$f\in C(\xi,\sigma)$ なら (3) より $\theta\geq f^-\sigma$、よって $\theta\geq\bigvee_{\sigma\in D}\bigvee_{f\in C(\xi,\sigma)}f^-\sigma=R_D\xi=J\xi$（$D$ の initial density と Proposition XVII.4.7 $R_J=J$ より）。

「reflective クラス全体で連続性を保証する」という条件を、稠密な代表元だけでチェックすれば十分にする縮約原理——第XXIV章 cards/topology/lemma-xxiv-2-8-reflector-coreflector-density-criterion（Lemma XXIV.2.8）で、積の混合性質の安定性の判定を有限個の生成的な収束のクラスに落とし込む際の直接の道具として使われる。