📐 Proposition XXIV.1.5（dual convergence は台の下限・上限とどう可換か）
- 📐 Proposition XXIV.1.5（dual convergence は台の下限・上限とどう可換か） #Card
- $[\bigwedge\Xi,\sigma]$ や $[\xi,\bigvee\Sigma]$ を、個々の $[\xi,\sigma]$ からどう再構成するか。
$\Xi,\Sigma$ を収束の非空集合とする。cards/topology/finer-subspace-order-dual-monotonicity の $\rhd$-上限/下限 $\bigvee^D,\bigwedge^D$ を使うと: $$\left[\bigwedge\Xi,\sigma\right] = \bigvee_{\xi\in\Xi}^D[\xi,\sigma], \qquad \left[\xi,\bigvee\Sigma\right] = \bigvee_{\sigma\in\Sigma}^D[\xi,\sigma].$$
証明の要点（第一式）: (XXIV.1.4) から $\left[\bigwedge\Xi,\sigma\right]\rhd\bigvee^D_{\xi\in\Xi}[\xi,\sigma]$ は自動。逆向きは、$\bigvee^D_{\xi\in\Xi}[\xi,\sigma]$ が台集合 $Y:=\bigcap_{\xi\in\Xi}C(\xi,\sigma)=C(\bigwedge\Xi,\sigma)$ 上の前収束であることを Remark IV.10.10 で確認し、各 $\xi$ に対し $\mathrm{ev}$ を $X\times Y$ に制限した式 $\xi\times\bigvee^D_{\xi\in\Xi}[\xi,\sigma]\geq\mathrm{ev}^-\sigma$ から $\bigwedge\Xi\times\bigvee^D_{\xi\in\Xi}[\xi,\sigma]\geq\mathrm{ev}^-\sigma$ を導き、cards/topology/prop-xxiv-1-1-dual-convergence-coarsest の最粗性で結論。
第二式は対称的な議論。
台集合の下限/上限に対する dual convergence の「連続性」を保証する公式で、cards/topology/prop-xxiv-5-7-8-11-hierarchy-consonance-criterion や後続章（第XXV・XXVI章、双対性）で $[\xi,\sigma]$ を部分基底やより単純な収束の族から再構成する際の基本ツール。