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「finer subspace」順序 $\rhd$ と dual convergence の単調性（Remark XXIV.1.4・(XXIV.1.4)）

  • 「finer subspace」順序 $\rhd$ と dual convergence の単調性（Remark XXIV.1.4・(XXIV.1.4)） #Card
    • $[\xi,\sigma]$ と $[\zeta,\sigma]$ は台集合が異なりうる（$C(\xi,\sigma)\neq C(\zeta,\sigma)$）ので直接 $\geq$ で比較できない。どう比較するか。

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（(pre)収束）$\theta,\tau$ に対し、$\theta$ が $\tau$ の finer subspace（記号 $\theta\rhd\tau$）:⟺ $\vert\theta\vert\subset\vert\tau\vert$ かつ $\theta\geq\tau\vert_{\vert\theta\vert}$（台集合違いを許した拡張版の順序、Remark III.3.10 の延長）。$\theta\geq\tau$（同じ台集合）なら $\theta\rhd\tau$。

$\zeta\geq\xi\implies C(\xi,\sigma)\subset C(\zeta,\sigma)$（(IV.3.4)）なので $[\xi,\sigma]$ と $[\zeta,\sigma]$ は一般に異なる台集合を持ち、$\geq$ で直接比較できない——ここで $\rhd$ が効く: $$\zeta\geq\xi \implies [\zeta,\sigma]\lhd[\xi,\sigma],\qquad \sigma\geq\tau \implies [\theta,\sigma]\rhd[\theta,\tau]. \tag{XXIV.1.4}$$

証明: $\zeta\geq\xi$ なら $C(\xi,\sigma)\subset C(\zeta,\sigma)$ から cards/topology/prop-xxiv-1-1-dual-convergence-coarsest の $\mathrm{ev}^-\sigma\leq\xi\times[\xi,\sigma]\leq\zeta\times[\xi,\sigma]$ を経由、$[\zeta,\sigma]$ の最粗性から $[\zeta,\sigma]\vert_{C(\xi,\sigma)}\leq[\xi,\sigma]$、すなわち $[\zeta,\sigma]\lhd[\xi,\sigma]$。

特に離散収束 $\iota$ は任意の $\xi$（同じ台集合上）より細かいので、$[\xi,\sigma]\rhd[\iota,\sigma]=p(\vert\xi\vert,\sigma)$——$\sigma$-dual convergence は $\sigma$-pointwise convergence より細かい、というこの章全体を貫く不等式の第一歩（cards/topology/prop-xxiv-5-7-8-11-hierarchy-consonance-criterion でさらに精密化される階層 $p\leq k\leq\kappa\leq[\cdot,\cdot]$ の起点）。