📐 関数空間上の収束の階層 $p\leq k\leq\kappa\leq T[\cdot,\cdot]\leq[\cdot,\cdot]$（(XXIV.5.7)–(5.8)）と consonance の判定（Corollary XXIV.5.11）
- 📐 関数空間上の収束の階層 $p\leq k\leq\kappa\leq T[\cdot,\cdot]\leq[\cdot,\cdot]$（(XXIV.5.7)–(5.8)）と consonance の判定（Corollary XXIV.5.11） #Card
- cards/topology/pointwise-hypertopology-bracket-notation・cards/topology/compact-open-topology・cards/topology/isbell-scott-topology・cards/topology/dual-natural-convergence の4つの収束を、粗い順にどう並べられるか。等号（consonance）はどう判定するか。
$\sigma,\xi$ が位相のとき（後者はコンパクト性が絡む2番目の不等式のみに必要）: $$p(\xi,\sigma) \leq k(\xi,\sigma) \leq \kappa(\xi,\sigma) \leq T[\xi,\sigma] \leq [\xi,\sigma], \tag{XXIV.5.7}$$ 特に $\sigma=$$ の場合は $$p(\xi,$) \leq k(\xi,$) \leq \kappa(\xi,$) = T[\xi,$] \leq [\xi,$] \tag{XXIV.5.8}$$ （$$_0,$_1$ どちらの変種でも成立、$\kappa(\xi,$)=T[\xi,$]$ は等号！）。
各不等号の根拠: $p\leq k$ は $k(\xi)\supset p(\xi)$（cards/topology/compact-open-topology・cards/topology/pointwise-hypertopology-bracket-notation）から。$k\leq\kappa$ は $\mathcal{O}_\xi(K)\in\kappa(\xi)$（cards/topology/isbell-scott-topology）から。$\kappa\leq T[\cdot,\cdot]$ は $\kappa(\xi,\sigma)$ が既に位相であることと $\kappa(\xi,$)=T[\xi,$]$（Corollary XX.10.9 経由、cards/topology/prop-xxiv-5-9-10-natural-convergence-preimage-isbell-coarser）から。$T[\cdot,\cdot]\leq[\cdot,\cdot]$ は topologizer の一般的な性質。
Corollary XXIV.5.11（consonance の判定）: 位相 $\xi$ が consonant（cards/topology/consonant-topology）$\iff$ $k(\xi,$)=\kappa(\xi,$)$。
すなわち、階層 (XXIV.5.8) のうち最初の不等号 $k\leq\kappa$ が等号になるかどうかが、まさに consonance の定義そのもの——本節が cards/topology/prop-xxiv-7-1-consonant-compact-open-topologization（第XXIV.7節、Consonance）への直接の橋渡しになっている。