📐 Proposition XXIV.5.9・Corollary XXIV.5.10（natural convergence の前像翻訳、Isbell topology はそれより粗い）
- 📐 Proposition XXIV.5.9・Corollary XXIV.5.10（natural convergence の前像翻訳、Isbell topology はそれより粗い） #Card
- cards/topology/prop-xxiv-5-3-pointwise-convergence-preimage-criterion・cards/topology/prop-xxiv-5-6-compact-open-preimage-criterion と同じパターンは、$[\xi,\sigma]$（dual/natural convergence）自体にも成り立つか。
Proposition XXIV.5.9: $\xi$ が収束、$\sigma$ が位相のとき、 $$f_0\in\lim{}{[\xi,\sigma]}\mathcal{F} \iff f_0^-(O)\in\lim{}{[\xi,$1]}\mathcal{F}^-(O) \quad (\text{各 }O\in\mathcal{O}\sigma).$$
証明: 定義から $f_0\in\lim_{[\xi,\sigma]}\mathcal{F}$ とは、各 $x_0$・各 $x_0\in\lim_\xi G$ なる $G$ に対し $f_0(x_0)\in\lim_\sigma\langle G,\mathcal{F}\rangle$、すなわち $f_0(x_0)\in O$ となる各 $O\in\mathcal{O}\sigma$ に対しある $G\in G,F\in\mathcal{F}$ で $f(x)\in O$（各 $x\in G,f\in F$）。これは（$x_0\in f_0^-(O)$ で）$G\subset\bigcap{f\in F}f^-(O)$ と書き換えられ、$f_0^-(O)\in\lim_{[\xi,$_1]}\mathcal{F}^-(O)$ の定義そのもの。
背景（Corollary XX.10.9）: $\xi$ が位相のとき、族 $\mathcal{A}\subset\mathcal{O}_\xi$ が $[\xi,$_1]$-開 $\iff$ $\mathcal{A}\in\kappa(\xi)$（cards/topology/compact-family-kappa-xi、$\xi$-openly isotone $\xi$-compact family）。したがって $\kappa(\xi,$)=T[\xi,$]$（$T$ は topologizer）。
Corollary XXIV.5.10: Isbell topology cards/topology/isbell-scott-topology $\kappa(\xi,\sigma)$ は $[\xi,\sigma]$（dual/natural convergence）より粗い——$\kappa(\xi,$_1)=[\xi,$_1]$-開集合そのものだが、$[\xi,\sigma]$ の方が一般に位相とは限らないため、$\kappa$ は $[\cdot,\sigma]$ の「topological化」に相当する。