📐 Proposition XXIV.5.6（compact-open topology を、前像の cocompact 超収束の言葉に翻訳）
- 📐 Proposition XXIV.5.6（compact-open topology を、前像の cocompact 超収束の言葉に翻訳） #Card
- cards/topology/prop-xxiv-5-3-pointwise-convergence-preimage-criterion の compact-open topology 版はどう書けるか。
Proposition XXIV.5.6: $\sigma$ が位相のとき、 $$f_0\in\lim{}{k(\xi,\sigma)}\mathcal{F} \iff f_0^-(O)\in\lim{}{k(\xi,$1)}\mathcal{F}^-(O) \quad (\text{各 }O\in\mathcal{O}\sigma).$$
証明は cards/topology/prop-xxiv-5-3-pointwise-convergence-preimage-criterion と全く並行——$[K,O]$（$K\in\mathcal{K}(\xi)$）を使った cards/topology/lemma-xxiv-5-2-bracket-filter-criterion の直接の帰結（$\mathcal{O}\xi(K)={\mathcal{O}\xi(K)}$ が openly isotone であることに注意）。
$k(\xi,\sigma)$（cards/topology/compact-open-topology）も $p(\xi,\sigma)$ と同じ「前像を通じて超収束に還元する」構造を持つ、という2つ目の実例——cards/topology/prop-xxiv-6-1-initial-density-preimagewise の一般論（(XXIV.6.1)）で、この現象がすべての $\alpha(\xi,\sigma)$（cards/topology/alpha-xi-sigma-general-construction）型の構成に共通することが示される。