📐 Lemma XXIV.5.2（$[A,O]\in\mathcal{F}\iff A\in\mathcal{F}^-(O)^\uparrow$、openly-isotone 族の場合）
- 📐 Lemma XXIV.5.2（$[A,O]\in\mathcal{F}\iff A\in\mathcal{F}^-(O)^\uparrow$、openly-isotone 族の場合） #Card
- フィルター $\mathcal{F}$ が $[A,O]$（cards/topology/pointwise-hypertopology-bracket-notation）を含むための条件を、値域側の前像フィルター $\mathcal{F}^-(O)$ の言葉でどう言い換えるか。
$\mathcal{F}^-(O):={{f^-(O):f\in F}:F\in\mathcal{F}}$（$\mathcal{O}_\xi$ 上のフィルター基）とする。
Lemma XXIV.5.2: $\mathcal{F}$ が $C(\xi,\sigma)$ 上のフィルター、$O\in\mathcal{O}\sigma$、$\mathcal{A}=\mathcal{O}\xi(\mathcal{A})$ が $\vert\xi\vert$ のopenly-isotone な族（開かつ上方閉）なら $$[\mathcal{A},O]\in\mathcal{F} \iff \mathcal{A}\in\mathcal{F}^-(O)^\uparrow.$$
証明: $[\mathcal{A},O]\in\mathcal{F}$ なら $F\subset[\mathcal{A},O]$ となる $F\in\mathcal{F}$ が存在し、$A\in\mathcal{A}$ で $A\subset f^-(O)$（各 $f\in F$）。$\mathcal{A}$ が openly isotone なので、これは $f^-(O)\in\mathcal{A}$（各 $f\in F$）と同値、すなわち ${f^-(O):f\in F}\subset\mathcal{A}$——$\mathcal{A}\in\mathcal{F}^-(O)^\uparrow$。
この補題が、cards/topology/prop-xxiv-5-3-pointwise-convergence-preimage-criterion・cards/topology/prop-xxiv-5-6-compact-open-preimage-criterion・cards/topology/prop-xxiv-5-9-10-natural-convergence-preimage-isbell-coarser という、本節の3つの「$f_0\in\lim F$ を前像 $f_0^-(O)$ の言葉に翻訳する」定理群すべての共通の証明エンジンになっている——関数空間の収束を、値域側の開集合の前像がなす超空間上の収束にまるごと還元する統一原理。