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$p(\xi,\$)$ の2変種と $[A,O]$ 記法（(XXIV.5.1)–(XXIV.5.3)）

  • $p(\xi,$)$ の2変種と $[A,O]$ 記法（(XXIV.5.1)–(XXIV.5.3)） #Card
    • 各点収束を超空間に特殊化するとどうなるか。$[A,O]$（「$A$ 上で値が $O$ に入る写像の集合」）という基本記法をどう定義するか。

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$\sigma=$$（Sierpiński）のとき、$p(\xi,$)$ には同相な2変種がある：$p(\xi,$_0)$（$\xi$-閉集合の超空間上）と $p(\xi,$_1)$（$\xi$-開集合の超空間上）。$p(\xi,$0)$ では、有限集合 $C\subset X$ に対し $C^{\neg#}:={A\in\mathcal{C}(\xi,$0):C\cap A=\emptyset}$ が開集合の基（$(C_0\cup C_1)^{\neg#}=C_0^{\neg#}\cap C_1^{\neg#}$ より）。$p(\xi)$（(XXIV.5.1)）：${\mathcal{O}\xi(F):F\subset{\mathrm{fin}}X}$ が $p(\xi,$_1)$ の開集合の基。

一般の $\sigma$（位相）に対し、$A\subset X$、$O\in\mathcal{O}\sigma$ に対し $$[A,O] := {f\in C(\xi,\sigma): A\subset f^-(O)} \tag{XXIV.5.2}$$ （$\mathcal{A}\subset 2^X$ なら $[\mathcal{A},O]:=\bigcup{A\in\mathcal{A}}[A,O]$、(XXIV.5.3)）。$f^-(O)\in\mathcal{O}\xi$ なので $[A,O]=[\mathcal{O}\xi(A),O]$。

${[A,O]:A\in p(\xi),O\in\mathcal{O}_\sigma}$（$p(\xi)$ は (XXIV.5.1)）が $p(\xi,\sigma)$ の開集合の部分基。

$[A,O]$ 記法は本節を通じて反復される統一言語——cards/topology/compact-open-topology・cards/topology/isbell-scott-topology も全て「$[A,O]$ の形の部分基を持つ位相」として書かれる。cards/topology/lemma-xxiv-5-2-bracket-filter-criterion がこの記法の核心的な補題。