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Isbell topology $\kappa(\xi,\sigma)$ と Scott topology $\kappa(\xi,\$_1)$（(XXIV.5.6)）

  • Isbell topology $\kappa(\xi,\sigma)$ と Scott topology $\kappa(\xi,$_1)$（(XXIV.5.6)） #Card

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cards/topology/compact-family-kappa-xi（第XX章、Proposition XX.6.12）により、$\xi$-openly isotone な $\xi$-compact family の集まり $\kappa(\xi)$ は、$\mathcal{O}\xi$ 上のある位相の開集合の基を（$\emptyset,2^X$ を含み、和・有限交叉で閉じるという条件で）なす。したがって cards/topology/alpha-xi-sigma-general-construction の $\alpha=\kappa(\xi)$ として $${[\mathcal{A},O]:\mathcal{A}\in\kappa(\xi),O\in\mathcal{O}\sigma} \tag{XXIV.5.6}$$ を部分基とする位相 $\kappa(\xi,\sigma)$ が $C(\xi,\sigma)$ 上に定まる。

  • $\kappa(\xi,$_1)\approx C(\xi,$1)\approx\mathcal{O}\xi$ 上の位相を Scott topology と呼ぶ。
  • 一般の（位相）$\sigma$ に対する $\kappa(\xi,\sigma)$ を Isbell topology と呼ぶ。

$\xi$ が位相、$K\in\mathcal{K}(\xi)$ なら $\mathcal{O}\xi(K)$ は $\xi$-openly isotone な $\xi$-compact family（cards/topology/compact-family-kappa-xi の一部）なので $k(\xi,\sigma)\leq\kappa(\xi,\sigma)$（cards/topology/compact-open-topology より粗い）。$\xi$ が位相のとき、$\xi$-openly isotone $\xi$-compact family $\mathcal{A}$ に対し $\mathcal{O}\xi{\mathcal{A}}$ も $\xi$-compact family（Remark XXIV.5.8、Proposition XX.6.18 cards/topology/compact-family-kappa-xi より）。

$k(\xi,\sigma)\leq\kappa(\xi,\sigma)$ が等号になるかどうかは cards/topology/consonant-topology（consonance）の判定そのもの——cards/topology/prop-xxiv-5-7-8-11-hierarchy-consonance-criterion の Corollary XXIV.5.11 を見よ。