$\xi$-compact family／openly isotone family／$\kappa(\xi)$ が位相の開集合系をなすこと（Def XX.6.1, Prop XX.6.12–6.19）
- $\xi$-compact family／openly isotone family／$\kappa(\xi)$ が位相の開集合系をなすこと（Def XX.6.1, Prop XX.6.12–6.19） #Card
- フィルターの compact 性を「集合の族」全体に一般化した $\xi$-compact family とは何で、その全体 $\kappa(\xi)$ が持つ特別な閉性は。
族 $\mathcal{A}$ が $\mathcal{B}$ で $\xi$-compact（at $\mathcal{B}$）:⟺ 任意のフィルター $\mathcal{H}$ で $\mathcal{A}#\mathcal{H}\implies\mathrm{adh}\xi\mathcal{H}\in\mathcal{B}^#$。$\mathcal{A}$ が $\mathcal{A}$ 自身で compact なら単に $\xi$-compact；${\vert\xi\vert}$ で compact なら $\xi$-compactoid。$A\subset\mathcal{O}\xi$ が $\xi$-openly isotone:⟺ $\mathcal{O}\ni B\supset A\in\mathcal{A}\implies B\in\mathcal{A}$（同値に $\mathcal{O}_\xi{\mathcal{A}}\subset\mathcal{A}$）。
Proposition XX.6.12: $\kappa(\xi):=$「isotone な $\xi$-compact family」の全体は $$\emptyset,2^X\in\kappa(\xi),\quad \bigcup_j\mathcal{A}_j\in\kappa(\xi)\ (\text{任意和}),\quad \bigcap_j\mathcal{A}_j\in\kappa(\xi)\ (\text{有限交叉})$$ を満たす——すなわち $2^X$ 上のある位相の開集合系そのものの公理を満たす（各 $K\in\mathcal{K}(\xi)$ で ${K}^\uparrow\in\kappa(\xi)$）。
Proposition XX.6.18: $\xi$ が位相、$\mathcal{A}$ が $\xi$-compact なら $\mathcal{O}_\xi{\mathcal{A}}$（openly isotone 化）も $\xi$-compact（逆・Proposition XX.6.19 も成立）。
Corollary XX.6.11: $\xi$ が位相、$K\in\mathcal{K}(\xi)$ なら $\mathcal{O}\xi(K)$ は $\xi$-compact で $\mathrm{adh}\xi\mathcal{O}_\xi(K)=K$。
$\kappa(\xi)$（「コンパクト族の位相」）が第XXIV章の cards/topology/isbell-scott-topology（Isbell/Scott topology）の基礎データそのもの——$\kappa(\xi,\sigma)$ はこの $\kappa(\xi)$ を前像で $C(\xi,\sigma)$ に引き戻して作られる。cards/topology/consonant-topology の定義もこの $\kappa(\xi)$ を使う。