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Consonant／dissonant 位相（Definition XX.6.20）

  • Consonant／dissonant 位相（Definition XX.6.20） #Card
    • 位相 $\xi$ が「consonant」であるとはどういう条件で、これがなぜコンパクト族の理論で重要な区別なのか。

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位相 $\xi$ が consonant:⟺ 任意の $\xi$-openly isotone な $\xi$-compact family $\mathcal{A}$（cards/topology/compact-family-kappa-xi）に対し、ある $\mathcal{D}\subset\mathcal{K}(\xi)$（$\xi$-コンパクト集合の族）が存在して $$\mathcal{A} = \bigcup_{D\in\mathcal{D}} \mathcal{O}_\xi(D).$$ このとき $\mathcal{A}$ は $\mathcal{D}$ で compactly generated と呼ぶ。Consonant でない位相を dissonant と呼ぶ。

意味: 「コンパクト族」という抽象的なデータ（フィルターの mesh 条件で定義される）が、実は具体的なコンパクト集合の族の開近傍の合併として書けるかどうか、という問い。位相の Corollary XX.6.11（$K\in\mathcal{K}(\xi)\implies\mathcal{O}_\xi(K)$ が $\xi$-compact）から $\supset$ 方向は常に成り立つので、consonance の核心は「任意の compact family がこの形に書き切れるか」という逆方向。

完備距離化可能位相はすべて consonant（第XXIV章 cards/topology/thm-xxiv-7-2-countably-complete-regular-consonant）だが、$\mathbb{Q}$（標準位相）は dissonant（Bouziad–Fremlin, 1995）——「見た目には素直な」空間でも成り立つとは限らない、非自明な区別。第XXIV章 cards/topology/prop-xxiv-7-1-consonant-compact-open-topologization・cards/topology/prop-xxiv-5-7-8-11-hierarchy-consonance-criterion で、consonance は「compact-open topology と Isbell topology が一致する」という関数空間の言葉に翻訳される。