📐 Theorem XXIV.7.2（正則・可算完備 ⟹ consonant）と Corollary XXIV.7.3（完備距離化可能 ⟹ consonant）
- 📐 Theorem XXIV.7.2（正則・可算完備 ⟹ consonant）と Corollary XXIV.7.3（完備距離化可能 ⟹ consonant） #Card
- どんな十分条件があれば、コンパクト族の compactly generated 性（cards/topology/consonant-topology）を実際に保証できるか。第XXIII章（Completeness）の可算完備性がどう使われるか。
Theorem XXIV.7.2: 正則かつ cards/topology/countably-complete-convergence（可算個のideal cover族 $(\mathcal{P}_n)_n$ に関して $\mathcal{P}$-complete、第XXIII章の概念）な位相 $\xi$ は consonant。
証明の骨子: $(\mathcal{P}_n)_n$ を $\xi$ が $(\mathcal{P}_n)_n$-complete であるような開被覆の列とする。$\mathcal{A}$ を $\xi$-openly isotone $\xi$-compact family、$A\in\mathcal{A}$ とする。$A_0:=A$、$\mathcal{Q}_0:={A_0\cap P:P\in\mathcal{P}_0}$ とすると $\bigcup\mathcal{Q}_0=A_0\in\mathcal{A}$、$\mathcal{A}$ のコンパクト性から有限部分族 $\mathcal{S}_0\subset\mathcal{Q}_0$ で $A_1:=\bigcup\mathcal{S}0\in\mathcal{A}$。これを反復し、フィルター $\mathcal{F}:={A_n:n<\omega}^\uparrow$ を作ると、任意の超フィルター $\mathcal{U}\in\beta\mathcal{F}$ は各 $\mathcal{P}n$ の元を含む——$\xi$ が $(\mathcal{P}n)n$-complete なので $\lim\xi\mathcal{U}\neq\emptyset$、すなわち $\mathcal{F}$ は $\xi$-compactoid。$\xi$ 正則により $K:=\mathrm{adh}\xi\mathcal{F}\neq\emptyset$ は $\xi$-compact（Proposition XX.6.10）で、Lemma XX.6.8 より $\mathcal{O}\xi(K)\subset\mathcal{F}$、よって $A\in\mathcal{O}\xi(K)\subset\mathcal{A}$——$\mathcal{A}$ は $K$ で compactly generated。
Corollary XXIV.7.3: 完備距離化可能な位相（Proposition XXIII.4.5 より可算完備距離化可能位相と一致）は consonant。
$\mathbb{Q}$（有理数の標準位相）はdissonant（Bouziad–Fremlin, 1995；Q が consonant か否かという未解決問題として提起されていたもの）——これは Q が countably complete でないこと（Example XXIII.4.6、$\mathbb{Q}$ は完備距離を持たない）と対比すると、この定理の十分条件が essentially sharp であることを示唆する具体例。
依存関係の記録: 本定理は「可算完備」概念（cards/topology/countably-complete-convergence）を通じて第XXIII章（Completeness）に本質的に依存する——本文中に番号引用はないが、証明の構造（$(\mathcal{P}_n)_n$-complete のフィルター構成）は第XXIII章の技術装置そのもの。