Countably complete convergence（Definition XXIII.4.1）と Čech completeness

• Countably complete convergence（Definition XXIII.4.1）と Čech completeness #Card
  • cards/topology/p-fundamental-filter-p-completeness の $\mathcal{P}$-completeness を、可算個の被覆族に限定するとどんな概念になるか。

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Definition XXIII.4.1: 収束 $\xi$ が countably complete（可算完備）:⟺ 可算個の ideal $\xi$-cover の族 $\mathcal{P}={\mathcal{P}_n:n<\omega}$ が存在して $\xi$ が $\mathcal{P}$-complete（cards/topology/p-fundamental-filter-p-completeness）。

有限完備（finitely complete）な収束は自動的に可算完備（有限族は可算族の特殊ケース）。標準的な実数直線 $\mathbb{R}$ は局所コンパクトなので可算完備。局所コンパクトでなくても可算完備な例（Example XXIII.4.4）: $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$（無理数の標準位相）は可算完備だが局所コンパクトではない。

Proposition XXIII.4.3（Lemma VIII.2.3 の帰結）: $\xi$ が可算完備 $\iff$ 可算個の $\xi$-non-adherent フィルターの族 $\mathcal{H}$ が存在して $\xi$ が $\mathcal{H}$-cocomplete（$\bigcup_{H\in\mathcal{H}}\beta H$ の外の超フィルターがすべて収束する）。

Proposition XXIII.4.5: 距離化可能な位相は、完備距離化可能 $\iff$ 可算完備。

Remark XXIII.4.2（伝統的な名称）: Hausdorff かつ functionally regular（completely regular）な可算完備位相を、伝統的に topologically complete または Čech complete と呼ぶ。

第XXIV章 Theorem XXIV.7.2（cards/topology/thm-xxiv-7-2-countably-complete-regular-consonant）は、この「可算個の cover 族 $(\mathcal{P}_n)_n$」という技術装置を証明の中で直接操作して、正則・可算完備な位相が consonant であることを示す——本文中に番号引用は無いが、この定義と Prop XXIV.4.5（完備距離化可能 ⟺ 可算完備距離化可能）に本質的に依拠する、第XXIV章の唯一の第XXIII章依存。