$\mathcal{P}$-fundamental filter と $\mathcal{P}$-completeness（Definition XXIII.1.1・XXIII.1.3）
- $\mathcal{P}$-fundamental filter と $\mathcal{P}$-completeness（Definition XXIII.1.1・XXIII.1.3） #Card
- 距離空間の Cauchy フィルター・完備性を、一般の収束空間で「集合の族の族 $\mathcal{P}$」を使ってどう抽象化するか。
$\xi$ を $X$ 上の収束、$\mathcal{P}$ を $X$ の部分集合族の集まりとする。
Definition XXIII.1.1（Fundamental filter）: フィルター $\mathcal{F}$ が $\mathcal{P}$-fundamental（または $\mathcal{P}$-Cauchy）:⟺ $\mathcal{F}\cap P\neq\emptyset$（各 $P\in\mathcal{P}$）。
例（Example XXIII.1.2）: $(X,d)$ が距離空間、$P_\varepsilon:={B_d(x,\varepsilon):x\in X}$、$\mathcal{P}:={P_\varepsilon:\varepsilon>0}$ なら、$\mathcal{P}$-fundamental はまさに $d$-Cauchy フィルター（$\inf_{F\in\mathcal{F}}\mathrm{diam},F=0$）。
Definition XXIII.1.3（Completeness）: $\xi$ が $\mathcal{P}$-complete:⟺ 任意の $\mathcal{P}$-fundamental フィルターが $\xi$-adherent（$\mathrm{adh}_\xi\mathcal{F}\neq\emptyset$）。
特殊ケース: $\mathcal{P}=\emptyset$（空の族）なら任意のフィルターが自動的に $\emptyset$-fundamental——$\xi$ が $\emptyset$-complete $\iff$ $\xi$ がコンパクト（Example XXIII.1.5）。すなわち completeness はコンパクト性の一般化。
$\mathcal{P}$ を精密化（refinement）で置き換える単調性（Lemma XXIII.1.6・Corollary XXIV.1.7）、イデアル化 $\mathcal{P}^{\cup\downarrow}$ でも同じ完備性になること（Proposition XXIII.1.9）などの基本操作が続く。
第XXIV章 cards/topology/thm-xxiv-7-2-countably-complete-regular-consonant（Theorem XXIV.7.2）が使う「可算完備性」（cards/topology/countably-complete-convergence）は、この $\mathcal{P}$-completeness の枠組みで $\mathcal{P}$ を可算個の cover 族に限定した特殊ケース。