Compact-open topology $k(\xi,\sigma)$（Definition XXIV.5.4）と cocompact/upper Wijsman 超収束（Example XXIV.5.5）
- Compact-open topology $k(\xi,\sigma)$（Definition XXIV.5.4）と cocompact/upper Wijsman 超収束（Example XXIV.5.5） #Card
- コンパクト集合と開集合の対で決める、$C(\xi,\sigma)$ 上のもう一つの古典的な位相の定義は。
$\sigma$ を位相とする。Definition XXIV.5.4: $f_0\in\lim_{k(\xi,\sigma)}\mathcal{F}$ :⟺ 各 $\xi$-コンパクト集合 $K\in\mathcal{K}(\xi)$ と各 $O\in\mathcal{O}_\sigma$ で $f_0(K)\subset O$ を満たすものに対し、ある $F\in\mathcal{F}$ が存在して $f(K)\subset O$（$\forall f\in F$）。
言い換えると、$f_0\in[K,O]$（cards/topology/pointwise-hypertopology-bracket-notation の記法、$A=K$ の場合）となる各 $K\in\mathcal{K}(\xi)$、$O\in\mathcal{O}\sigma$ に対し $[K,O]\in\mathcal{F}$。$[K,O]$ は $k(\xi,\sigma)$-開なので（Lemma IX.2.5 により）$k(\xi,\sigma)$ は $C(\xi,\sigma)$ 上の位相で、${[K,O]:K\in\mathcal{K}(\xi),O\in\mathcal{O}\xi}$ がその部分基。さらに $k(\xi):={\mathcal{O}_\xi(K):K\in\mathcal{K}(\xi)}$ は $k(\xi,$_1)$ の開集合の基。
Example XXIV.5.5: $\sigma=$$ のとき、$k(\xi,$)$ は $\xi$-閉集合の超空間上のcocompact topology（別名 upper Wijsman topology）: $A_0\in\lim_{k(\xi,$0)}\mathcal{F}\iff$ 各 $\xi$-コンパクト $K$ で $K\cap A_0=\emptyset$ なら、ある $F\in\mathcal{F}$ で $K\cap\bigcup{A\in F}A=\emptyset$。${K^{\neg#}:K\in\mathcal{K}(\xi)}$ が開集合の基。
古典的なcompact-open topology（関数解析での標準的な関数空間位相）の収束空間版であり、cards/topology/prop-xxiv-5-7-8-11-hierarchy-consonance-criterion の階層 $p\leq k\leq\kappa\leq[\cdot,\cdot]$ の中心的な項。
Meaning
Section titled “Meaning”著者が compact-open を XXIV.5 で再定義する意図は、関数解析で既知の位相を dual / Isbell / preimagewise の統一図式に埋め込むことにある。これにより古典的道具を保ったまま、一般収束での比較可能性（$p\leq k\leq\kappa\leq[\cdot,\cdot]$）が得られる。
出典:
refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp24-2024-spaces-of-maps.pdfp.596–597