📐 Proposition XXIV.5.3（各点収束を、前像フィルターの Scott 収束の言葉に翻訳）
- 📐 Proposition XXIV.5.3（各点収束を、前像フィルターの Scott 収束の言葉に翻訳） #Card
- $\sigma$ が位相のとき、$C(\xi,\sigma)$ 上の各点収束 $p(\xi,\sigma)$ を $p(\xi,$_1)$（超空間の各点収束）だけで特徴づけられるか。
Proposition XXIV.5.3: $\sigma$ が位相のとき、 $$f_0\in\lim{}{p(\xi,\sigma)}\mathcal{F} \iff f_0^-(O)\in\lim{}{p(\xi,$1)}\mathcal{F}^-(O) \quad (\text{各 }O\in\mathcal{O}\sigma).$$
証明: $f_0\in\lim_{p(\xi,\sigma)}\mathcal{F}$ とは、$f_0\in[A,O]$ となる各 $A\in p(\xi)$ に対し $[A,O]\in\mathcal{F}$（(XXIV.5.1) の基底による定義）ということ。cards/topology/lemma-xxiv-5-2-bracket-filter-criterion によりこれは、$f_0^-(O)\in\mathcal{A}$ となる各 $\mathcal{A}\in p(\xi)$ に対し $\mathcal{A}\in\mathcal{F}^-(O)^\uparrow$、すなわち $f_0^-(O)\in\lim_{p(\xi,$_1)}\mathcal{F}^-(O)$ と同値。
この命題は、後で示される一般的な事実（cards/topology/prop-xxiv-6-1-initial-density-preimagewise、(XXIV.6.1) の preimagewise construction）の最初の具体例——「$C(\xi,\sigma)$ 上の各点収束 $=$ $$$-値超収束（$O$ を通した前像）の初期収束」という統一パターンの原型。cards/topology/prop-xxiv-5-6-compact-open-preimage-criterion（compact-open 版）・cards/topology/prop-xxiv-5-9-10-natural-convergence-preimage-isbell-coarser（natural convergence 版）が同じパターンを反復する。