📐 Proposition XXIV.6.1（preimagewise convergence は、$C(\sigma,\$)$ を通した lower adjoint の始収束の上限）
- 📐 Proposition XXIV.6.1（preimagewise convergence は、$C(\sigma,$)$ を通した lower adjoint の始収束の上限） #Card
- cards/topology/preimagewise-convergence $\tau^{\Uparrow\sigma}$ を、始収束（initial convergence）の言葉でどう再構成するか。
Proposition XXIV.6.1: $C(\xi,$)$ 上の任意の収束 $\tau$ に対し $$\tau^{\Uparrow\sigma} := \bigvee_{h\in C(\sigma,$)} h_*^-\tau. \tag{XXIV.6.4}$$
証明: (XXIV.6.2)・cards/topology/adjoint-maps-upper-lower の lower adjoint $(\chi_O)*(f):=\chi_O\circ f$ を使うと、(XXIV.6.3) は $(\chi_O)(f_0)\in\lim_\tau(\chi_O)_[\mathcal{F}]$ と同じ内容——すなわち $f_0\in\lim_{\tau^{\Uparrow\sigma}}\mathcal{F}\iff$ 各 $h\in C(\sigma,$)$ で $h_(f_0)\in\lim_\tau h_[\mathcal{F}]$。これがまさに (XXIV.6.4) の意味（各 $h_*^-\tau$ に関する連続性の連言＝上限に関する収束）。
意味: preimagewise convergence は「値域を $$$（Sierpiński）に送る全ての連続写像 $h$」を通した引き戻しの上限として書ける——本章の反射的性質（$\tau$ が正則・Hausdorff・その他の反射的な性質を持てば $\tau^{\Uparrow\sigma}$ も同じ性質を持つ）が、この上限表示から自動的に遺伝することを意味する。第XXV・XXVI章（双対性・修正された双対性）で、この preimagewise 構成が「関数空間の位相を値域側の生成子だけから作る」一般原理として再利用される。